?看點?? ?今年中考數學，引起了大眾不少關注。回歸試卷，眾多考生沒有拿下的最后一題，“難”在哪里？值得關注的是，這些題目完全回歸課本，沒有一點超綱考查，卻非常靈活。這些不套路的題目，對于我們今后小初高階段的數學學習，又會有怎樣的啟發呢？
文丨魚圈教研團? ? 編丨袁梓曦
截至我們發稿前，全國各地大部分地區都已經結束中考。和高考一樣，考試結束網上最先討論的就是“今年考得難不難”這樣的話題。
根據網上的消息，我們大概捋了一下：
北京、上海、江蘇、重慶，安徽、青島的考生普遍覺得偏難；
浙江考生覺得沒那么難但全做出的人也不多。
整體來說，今年中考的數學不簡單。
不過，難易這種事，因人而異，網上的調查也僅限于當事人觀感，咱們還是就事論事，把考卷拿來做一遍再評判。
2024年中考落下帷幕
數學又“難”又“簡單”
我們一般說數學考得難，指的是試卷最后一題難度，比如填空、選擇最后一題，最常見是看整張試卷最后一題的難度。
普娃和牛娃的差距，或者說最后孩子是去普高還是重高，很大程度上要看這種題目能不能做出來。
因為該類題目分值比較高，如果沒思路，那光一道題就能拉開10分左右的差距。在中考，也許志愿就得從上一檔滑落到下一檔了。
那我們具體來看一下這幾個省市中考數學的最后一道大題。
北京最后一題，把函數和幾何放在一起：
上海最后一題，幾何題：
重慶最后一題，幾何題：
浙江最后一題，幾何題：
我們做了下這幾道題，感覺論“知識點”不難，因為解題中用到的都是課本內的知識，而且是非常基礎的概念和定理。
那考生反饋的“難”是落在哪里呢？
我們認為，是因為這些題目非常不套路。
知識點還是那些知識點，但考查的深度和靈活度和“刷的題”太不一樣了！
我們就以沒那么難的浙江卷為例，解題步驟不復雜：
本題在圓中內接了四邊形，研究線與圓中四邊形基本元素之間的關系：
這幾個知識點之間不獨立，環環相扣。
只有真正理解概念和定理，而不是單純考記憶背出一些公式，才能在碰到這種題目時不慌不亂，抽絲剝繭，順利下筆。
從前刷題強調的解題技巧，現在都用不上了，只有重視數學概念、原理以及法則之間的聯系，理解透徹了，題也就不難了。
中考滿分的秘密——幾何
小學階段能做些什么
從上面分析可以看出，這些省市的最后一題一般都會選擇幾何題，或者把幾何和函數結合到一起考查。
我們翻看了往年的中考試卷，的確如此。
那么，對于家長和孩子來說，幾何的學習就得好好琢磨了，特別是想要沖刺滿分，目標“重高”的家庭。
小初高的數學體系可以大致分成三個模塊：代數與計算、幾何和統計與概率。
我們重點看幾何模塊。
小學階段的幾何學習偏認知向：了解點線面、平面圖形、立體圖形的基本特征。
考試也特別簡單，反而在幾何計算中孩子失分的情況會更多一些，比如算周長和面積。
這里家長們要分辨一下，因為小學幾何涉及的周長面積是很“直白”的，更多的是考“代數能力”，比如下面這題
很少有孩子是因為不會正方形、長方形的周長面積公式而錯的。
所以，嚴格意義上，小學階段的幾何學習難度一點都不大。
初中階段，幾何學習要從初二開始：此時才對平面幾何有了深度探究，要能想象、能割補、會添輔助線，這才是真正的幾何入門。
幾何和代數學習不一樣。
做一道幾何題，最重要的就是思考出解題的邏輯線。從已知條件出發，一步一步，嚴謹地推導出結論，完成證明。
而到了高中之后，接觸的就是立體幾何了，在難度上當然又升了一個臺階。不過在高中，會引入一個新的知識點——向量。
當孩子會用空間向量后，很多立體問題其實可以轉為向量問題，那接下來需要的就是代數計算能力，和幾何相關性沒那么大了。
綜合以上分析，我們認為對于幾何學習，最精髓的部分其實是在初中，真正用幾何思維來解幾何問題。
這就難怪，一張中考卷，幾何的分值大概占據40%-45%。
但是在小學階段，幾何學習確實比較淺；那么，對于學有余力的孩子，可以適當給他鋪墊一些幾何認知，這樣銜接到初中幾何會相對順暢。
注意，我們不建議提前去學習初中幾何內容，而是在小學階段重點把幾何的基礎知識和性質好好摸透，搭建孩子的幾何底層能力。
有關「課內」和「課外」的建議如下。
首先，一定要重視課內。
再次強調，小學階段的幾何知識很簡單，但不代表不重要。
尤其是簡單幾何的概念和特征，他們是初高中幾何學習的地基，所有高階的幾何推理都是從一個點、一條線、一個面開始的。
如果孩子只是記住了知識點，而沒有去理解，遇到新題型，比如今年的中高考題目，自然覺得“很難”。
幾何非常重視邏輯性，我們可以讓孩子自己梳理出所學幾何知識的思維導圖；幾何圖形的一個性質到另一個性質是如何被推導出來的，最好都自己證明一遍。
能做到這一步，其實就是在課內學習的基礎上又向下深挖了一步，這個地基打得就越穩。
在課內基礎上，我們推薦做一些拓展。
學有余力的孩子，可以嘗試接觸小奧的幾何體系，一些題目蘊含了不少幾何思維，可以更深刻地理解幾何之間的關系。
特別是它們涉及的原理都是當前校內知識，也就是說，沒有需要超前和額外補充的知識點。
除此之外，家中可以提供一些幾何數學讀物給孩子，比起正兒八經做小奧題，看看書就“無痛”多了吧。
繪本類：《折紙的幾何》《這就是幾何》《DK我的第一本幾何思維》《揭秘幾何》《形狀國的傳說》
故事類：《幾何王國大冒險》《幾何真好玩》
閱讀類：《圖解奧數》《幾何原本》《幾何之美》《不焦慮的幾何》
當然，一些幾何的桌游也是很好的補充，盡量在孩子生活中滲透一些幾何思想。
那么，等孩子上了初中，他可以從容應對幾何的學習和考試。
把中高考數學最后一題放一起看
數學原理和數學思維是關鍵
講完了中考，我們再往前多看一步，把今年高考卷的最后一題一起拿來比較下。
我們主要以新課標Ⅰ卷為例，因為Ⅰ卷參與的省市都是采用新課標的地區，也是教育改革的方向。
2024年數學高考新課標Ⅰ卷最后一題
今年考生普遍反映全國新課標Ⅰ卷最后一題，有點出人意料，考了一道新定義的數列題，屬數論知識，當天考完出來發懵的考生非常多。
學生覺得“發懵”很大概率是因為這種題型完全沒見過，而“數論”在整個小初高學習中都不是重點，只是淺淺接觸了下。
甚至很多孩子都不知道這些知識點屬于數論的范疇，比如整除、余數、進制都是數論里研究的內容。
數論的入門學習在小奧中會有一些，其余就完全是大學才會學到的內容。
因此有挺多博主就開始宣傳，高中要提前讓孩子學高等數學。
按照他們的理論，那孩子要學的東西可太多了，什么“極限與洛必達法則”、“微分中值定理與應用”、“凸凹性與偏導數”、“定積分與應用”……
難道不提前學一些大學知識，就考不好高考了嗎？
不然。
參考人教版高中數學主編章建躍老師的解釋和分析，其實解這題所必需的知識限定完全都在高中課本中。
章建躍：2024高考數學的啟示《回歸課標、重視教材才是王道》
雖然這里構建了一個新情境，但是前兩問只要能讀懂題，理解題目中給出的概念，找到有效信息，就能做。
第三問，有一些難度，構造了新的知識，但是題目中把關于數論的相關知識都告知了，考生需要的就是“依樣畫葫蘆”。
它考查的是考生對新知識的現場理解能力，用數學思維現學現用，高效率地接受新知識并應用。
其實很多國內優質學校的自主招生，很早就開始采用“現學現用”的招生策略，因為這樣可以更客觀地挑選出學習能力強的孩子。
所以，我們認為，高考考到一些沒有學過的知識，本意上不是為了單純鼓勵孩子去超前學；
而是希望通過一道“新題型”來篩選出真正有數學能力的孩子。
這里講的數學能力，可以簡單理解為：
遇到一個新的數學問題，學生可以從自己的“知識庫”中，迅速組建起一套全新的解題邏輯，來應對新問題，而不是拿一個成品化的模具來試著套一套。
即這種能力無法通過反復刷題刷出來。
如此分析，會發現雖然中高考考查的知識點和難度完全不同，但考查方向和邏輯是一致的。
中高考的最后一題絕對不是考學生的“知識量”，它所注重的是“數學能力”。
而構建數學能力背后，需要的是對數學概念原理的理解并應用，即所謂的“數學思維”。
這一點，在孩子今后的數學學習中，是我們需要重點關注的。
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